今天探索吧就给我们广大朋友来聊聊高中数列求和方法总结,以下关于观点希望能帮助到您找到想要的答案。
数列求和有几种不同的方法？高考中经常用的是哪几种
优质回答数列求和的几种常用方法
数列求和是数列部分的重要内容,题型复杂多变,我们根据不同题型总结出一些方法.它对数列的学习是有好处的.
一、 反序相加法
例1 求数列{n}的前n项和.
解 记Sn=1+2+…+(n-1)+n,
将上式倒写得: Sn=n+(n-1)+…+2+1
把两式相加,由于等式右边对应的项和均为n+1,
∴2 Sn=n(n+1),即Sn= n(n+1)
说明 此法亦称为高斯求和.
二、 错位相减法
若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{anbn}的前n项和可用错位相减法.
例2 求和S =
解 由原式乘以公比 得:
Sn=
原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,
∴Sn- Sn= +
即 Sn=3
一般地, 当等比数列{bn}的公比为q, 则错位相减的实质是作“Sn- qSn”求和.
三、 累加法
例3 求和Sn=
分析 由 得
,令k=1、2、3、…、n得
2 －1 =3•1 ＋3•1＋1
3 －2 ＝3•2 ＋3•2＋1
4 －3 ＝3•3 ＋3•3＋1
……
（n+1） －n =3n +3n+1
把各式两边分别相加得：
（n+1） －1=3(1 +2 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n
=3Sn+ n(n+1)+n
因此，Sn＝ n(n+1)(2n+1)
想一想 利用此法能否推导自然数的立方和公式：
点拨 利用(k+1) =k +4k +6k +4k+1进行累加.
归纳 推导自然数的方幂和 公式的方法。
四、 裂项法
从一般项入手，寻找规律，有时往往把一般项折项，使
得折项后能相消或归结于基本类型。
(1) 裂项分组
例4 求数列:
的前n项的和.
分析 从一般项入手，记a = ，
则 an＝ ＝ .
可见，每一项都可分成一个常数项与一个等比数列的和，若记原数列的前n项为Sn，则
Sn＝
(2) 裂项相消
例5 求和：S ＝
分析 从一般项考虑知： ，
所以将各项裂项后，前后的相邻项可以相消。
即 S ＝
例5 求证 tgxtg2x+tg2xtg3x+…+tg(n-1)xtgnx= -1
观察 观察式子的结构特点,左边各项的两因式的角之差
为定值x,从一般项入手,能否使之裂项出现这两角的差
点拨 考虑两角差的正切函数公式的变式.
事实上,由tg(k-1)xtgkx= -1,
令k=2,3,…,n.各式相加即得结论.
数列求和有哪五种方法?
优质回答一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、 等比数列求和公式：
自然数方幂和公式：
3、 4、
5、
[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)
∴该数列是首项为1,公比为x2的等比数列而且有n+3项
当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3
评注：
(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x是否为0进行讨论．
(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n项．
对应高考考题：设数列1,（1+2）,…,（1+2+ ）,……的前顶和为 ,则 的值.
二、错位相减法求和
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容.需要我们的学生认真掌握好这种方法.这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an�� bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法.
[例] 求和：（ ）………………………①
由题可知,{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 ……………………….② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
注意、1 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况
2 错位相减时要注意末项
此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘.
对应高考考题：设正项等比数列 的首项 ,前n项和为 ,且 .（Ⅰ）求 的通项； （Ⅱ）求 的前n项和 .
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个 .
[例] 求证：
证明：设 …………………………①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由 可得
………………②
①+②得 （反序相加）
∴
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
若数列 的通项公式为 ,其中 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般用分组结合法.
[例]：求数列 的前n项和；
分析：数列的通项公式为 ,而数列 分别是等差数列、等比数列,求和时一般用分组结合法；
[解] ：因为 ,所以
（分组）
前一个括号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和,因此
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[例] 求数列 的前n项和.
设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.
注意：余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的.
2余下的项前后的正负性是相反的.
[练习] 在数列{an}中,,又 ,求数列{bn}的前n项的和.
高中数学求数列前n项和的方法
优质回答数列前n项和求解的七种 方法 为：倒序相加法、公式法、裂项相消法、错位相减法、迭加法、分组求和法、构造法。下面给大家分享一些关于高中数学求数列前n项和的方法，希望对大家有所帮助。
一、用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”
二、用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
三、用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
四、用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
五、用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
六、用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
七、用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
拓展：斜率怎么计算
1、当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b，当x=0时，y=b。2、当直线L的斜率存在时，点斜式y2-y1=k(x2-x1)。3、对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向所成的角，即k=tanα。4、斜率计算：ax+by+c=0中，k=-a/b。
曲线斜率相关知识点
1.曲线的上某点的斜率则反映了此曲线的变量在此点处的变化的快慢程度。
2.曲线的变化趋势仍可以用过曲线上一点的切线的斜率即导数来描述。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
3.当f'(x)>0时，函数在该区间内单调递增，曲线呈向上的趋势;当f'(x)<0时，函数在该区间内单调减，曲线呈向下的趋势。
4.在区间(a, b)中，当f''(x)<0时，函数在该区间内的图形是凸(从上向下看)的;当f''(x)>0时，函数在该区间内的图形是凹的。
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高中数列求和的几种方法
优质回答1.
公式法：
等差数列求和公式:
sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
2.错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式
{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
sn=a1b1+a2b2+a3b3+.+anbn
例如：
an=a1+(n-1)d
bn=a1·q^(n-1)
cn=anbn
tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+anbn
qtn=
a1b2+a2b3+a3b4+.+a(n-1)bn+anb(n+1)
tn-qtn=
a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+.bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+.bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
sn
=a1+
a2+
a3+
+an
sn
=an+
a(n-1)+a(n-3)
+a1
上下相加
得到2sn
即
sn=
（a1+an)n/2
4.分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2^n+n-1
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝
1-1/(n+1)＝
n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：求证：1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
n(n+1)(n+2)(n+3)
=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明：
当n=1时，有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
=
2×3×4×5×(1/5
+1)
=
2×3×4×5×6/5
假设命题在n=k时成立，于是：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
1×2×3×4
+
2×3×4*5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5
+1)
=
[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
7.通项化归
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
人们很难接受与已学知识和经验相左的信息或观念，因为一个人所学的知识和观念都是经过反复筛选的。探索吧关于高中数列求和方法总结介绍就到这里，希望能帮你解决当下的烦恼。
